Επίλυση sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε \sqrt{1+x} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{1-x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{2} είναι 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{1+x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Προσθέστε 2 και 1 για να λάβετε 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Αφαιρέστε 3+x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 3+x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Αφαιρέστε 3 από 1 για να λάβετε -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Συνδυάστε το -x και το -x για να λάβετε -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-2-2x\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{2} είναι 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 2 για να λάβετε 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{1+x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8 με το 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Αφαιρέστε 8 από 4 για να λάβετε -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Αφαιρέστε 8x και από τις δύο πλευρές.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το -8x για να λάβετε 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Υπολογίστε -1+x^{2}. Γράψτε πάλι το -1+x^{2} ως x^{2}-1^{2}. Η διαφορά τετραγώνων μπορεί να παραγοντοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Αντικαταστήστε το x με 1 στην εξίσωση \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με -1 στην εξίσωση \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$