Επίλυση sqrt{1div2+1div4+1div8+1div16+1div2x}=x

$$\sqrt{ 1 \div 2+1 \div 4+1 \div 8+1 \div 16+1 \div 2x } =x$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2 και 4 είναι 4. Μετατροπή των \frac{1}{2} και \frac{1}{4} σε κλάσματα με παρονομαστή 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{2}{4} και \frac{1}{4} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Προσθέστε 2 και 1 για να λάβετε 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 4 και 8 είναι 8. Μετατροπή των \frac{3}{4} και \frac{1}{8} σε κλάσματα με παρονομαστή 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{6}{8} και \frac{1}{8} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Προσθέστε 6 και 1 για να λάβετε 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 8 και 16 είναι 16. Μετατροπή των \frac{7}{8} και \frac{1}{16} σε κλάσματα με παρονομαστή 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{14}{16} και \frac{1}{16} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Προσθέστε 14 και 1 για να λάβετε 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}στη δύναμη του 2 και λάβετε \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με \frac{1}{2} και το c με \frac{15}{16} στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το \frac{15}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -\frac{1}{2} και το 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{2} με το -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{2} με το -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Αντικαταστήστε το x με -\frac{3}{4} στην εξίσωση \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-\frac{3}{4} δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{5}{4} στην εξίσωση \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{5}{4} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Η εξίσωση \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\frac{5}{4}$$