Επίλυση sqrt{y-1}+3=y

$$\sqrt { y - 1 } + 3 = y$$

Λύση ως προς y

$$y=5$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{y-1}=y-3$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{y-1}\right)^{2}=\left(y-3\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{y-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε y-1.

$$y-1=\left(y-3\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(y-3\right)^{2}.

$$y-1=y^{2}-6y+9$$

Αφαιρέστε y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$y-1-y^{2}=-6y+9$$

Προσθήκη 6y και στις δύο πλευρές.

$$y-1-y^{2}+6y=9$$

Συνδυάστε το y και το 6y για να λάβετε 7y.

$$7y-1-y^{2}=9$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$7y-1-y^{2}-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από -1 για να λάβετε -10.

$$7y-10-y^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-y^{2}+7y-10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -y^{2}+ay+by-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 10.

$$1,10 2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+10=11 2+5=7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=5 b=2$$

Γράψτε πάλι το -y^{2}+7y-10 ως \left(-y^{2}+5y\right)+\left(2y-10\right).

$$\left(-y^{2}+5y\right)+\left(2y-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε -y στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$-y\left(y-5\right)+2\left(y-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-5\right)\left(-y+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-5=0 και -y+2=0.

$$y=5 y=2$$

Αντικαταστήστε το y με 5 στην εξίσωση \sqrt{y-1}+3=y.

$$\sqrt{5-1}+3=5$$

Απλοποιήστε. Η τιμή y=5 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$5=5$$

Αντικαταστήστε το y με 2 στην εξίσωση \sqrt{y-1}+3=y.

$$\sqrt{2-1}+3=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή y=2 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$4=2$$

Η εξίσωση \sqrt{y-1}=y-3 έχει μια μοναδική λύση.

$$y=5$$