Επίλυση sqrt{x-5}+3sqrt{x+3}=10

$$\sqrt { x - 5 } + 3 \sqrt { x + 3 } = 10$$

Λύση ως προς x

$$x=6$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε 3\sqrt{x+3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x-5}=10-3\sqrt{x+3}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}=\left(10-3\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-5}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-5.

$$x-5=\left(10-3\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(10-3\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x-5=100-60\sqrt{x+3}+9\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+3}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+3.

$$x-5=100-60\sqrt{x+3}+9\left(x+3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 9 με το x+3.

$$x-5=100-60\sqrt{x+3}+9x+27$$

Προσθέστε 100 και 27 για να λάβετε 127.

$$x-5=127-60\sqrt{x+3}+9x$$

Αφαιρέστε 127+9x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x-5-\left(127+9x\right)=-60\sqrt{x+3}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 127+9x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x-5-127-9x=-60\sqrt{x+3}$$

Αφαιρέστε 127 από -5 για να λάβετε -132.

$$x-132-9x=-60\sqrt{x+3}$$

Συνδυάστε το x και το -9x για να λάβετε -8x.

$$-8x-132=-60\sqrt{x+3}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-8x-132\right)^{2}=\left(-60\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-8x-132\right)^{2}.

$$64x^{2}+2112x+17424=\left(-60\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-60\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$64x^{2}+2112x+17424=\left(-60\right)^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -60στη δύναμη του 2 και λάβετε 3600.

$$64x^{2}+2112x+17424=3600\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+3}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+3.

$$64x^{2}+2112x+17424=3600\left(x+3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3600 με το x+3.

$$64x^{2}+2112x+17424=3600x+10800$$

Αφαιρέστε 3600x και από τις δύο πλευρές.

$$64x^{2}+2112x+17424-3600x=10800$$

Συνδυάστε το 2112x και το -3600x για να λάβετε -1488x.

$$64x^{2}-1488x+17424=10800$$

Αφαιρέστε 10800 και από τις δύο πλευρές.

$$64x^{2}-1488x+17424-10800=0$$

Αφαιρέστε 10800 από 17424 για να λάβετε 6624.

$$64x^{2}-1488x+6624=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 64, το b με -1488 και το c με 6624 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1488\right)±\sqrt{\left(-1488\right)^{2}-4\times 64\times 6624}}{2\times 64}$$

Υψώστε το -1488 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-1488\right)±\sqrt{2214144-4\times 64\times 6624}}{2\times 64}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 64.

$$x=\frac{-\left(-1488\right)±\sqrt{2214144-256\times 6624}}{2\times 64}$$

Πολλαπλασιάστε το -256 επί 6624.

$$x=\frac{-\left(-1488\right)±\sqrt{2214144-1695744}}{2\times 64}$$

Προσθέστε το 2214144 και το -1695744.

$$x=\frac{-\left(-1488\right)±\sqrt{518400}}{2\times 64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 518400.

$$x=\frac{-\left(-1488\right)±720}{2\times 64}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1488 είναι 1488.

$$x=\frac{1488±720}{2\times 64}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 64.

$$x=\frac{1488±720}{128}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1488±720}{128} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1488 και το 720.

$$x=\frac{2208}{128}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2208}{128} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 32.

$$x=\frac{69}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1488±720}{128} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 720 από 1488.

$$x=\frac{768}{128}$$

Διαιρέστε το 768 με το 128.

$$x=6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{69}{4} x=6$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{69}{4} στην εξίσωση \sqrt{x-5}+3\sqrt{x+3}=10.

$$\sqrt{\frac{69}{4}-5}+3\sqrt{\frac{69}{4}+3}=10$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{69}{4} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$17=10$$

Αντικαταστήστε το x με 6 στην εξίσωση \sqrt{x-5}+3\sqrt{x+3}=10.

$$\sqrt{6-5}+3\sqrt{6+3}=10$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=6 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$10=10$$

Η εξίσωση \sqrt{x-5}=-3\sqrt{x+3}+10 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=6$$