Επίλυση sqrt{x-2}=11-x/2

$$\sqrt { x - 2 } = \frac { 11 - x } { 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=13-2\sqrt{10}\approx 6,67544468$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}=\left(\frac{11-x}{2}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-2}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-2.

$$x-2=\left(\frac{11-x}{2}\right)^{2}$$

Για την αυξήσετε το \frac{11-x}{2} σε μια δύναμη, αυξήστε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή στη δύναμη και έπειτα κάντε διαίρεση.

$$x-2=\frac{\left(11-x\right)^{2}}{2^{2}}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(11-x\right)^{2}.

$$x-2=\frac{121-22x+x^{2}}{2^{2}}$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$x-2=\frac{121-22x+x^{2}}{4}$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 121-22x+x^{2} με το 4 για να λάβετε \frac{121}{4}-\frac{11}{2}x+\frac{1}{4}x^{2}.

$$x-2=\frac{121}{4}-\frac{11}{2}x+\frac{1}{4}x^{2}$$

Αφαιρέστε \frac{121}{4} και από τις δύο πλευρές.

$$x-2-\frac{121}{4}=-\frac{11}{2}x+\frac{1}{4}x^{2}$$

Αφαιρέστε \frac{121}{4} από -2 για να λάβετε -\frac{129}{4}.

$$x-\frac{129}{4}=-\frac{11}{2}x+\frac{1}{4}x^{2}$$

Προσθήκη \frac{11}{2}x και στις δύο πλευρές.

$$x-\frac{129}{4}+\frac{11}{2}x=\frac{1}{4}x^{2}$$

Συνδυάστε το x και το \frac{11}{2}x για να λάβετε \frac{13}{2}x.

$$\frac{13}{2}x-\frac{129}{4}=\frac{1}{4}x^{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{4}x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$\frac{13}{2}x-\frac{129}{4}-\frac{1}{4}x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{13}{2}x-\frac{129}{4}=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -\frac{1}{4}, το b με \frac{13}{2} και το c με -\frac{129}{4} στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{13}{2}±\sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{129}{4}\right)}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Υψώστε το \frac{13}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x=\frac{-\frac{13}{2}±\sqrt{\frac{169}{4}-4\left(-\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{129}{4}\right)}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -\frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{13}{2}±\sqrt{\frac{169-129}{4}}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Προσθέστε το \frac{169}{4} και το -\frac{129}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x=\frac{-\frac{13}{2}±\sqrt{10}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -\frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{13}{2}±\sqrt{10}}{-\frac{1}{2}}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-\frac{13}{2}±\sqrt{10}}{-\frac{1}{2}} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -\frac{13}{2} και το \sqrt{10}.

$$x=\frac{\sqrt{10}-\frac{13}{2}}{-\frac{1}{2}}$$

Διαιρέστε το -\frac{13}{2}+\sqrt{10} με το -\frac{1}{2}, πολλαπλασιάζοντας το -\frac{13}{2}+\sqrt{10} με τον αντίστροφο του -\frac{1}{2}.

$$x=13-2\sqrt{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-\frac{13}{2}±\sqrt{10}}{-\frac{1}{2}} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{10} από -\frac{13}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{10}-\frac{13}{2}}{-\frac{1}{2}}$$

Διαιρέστε το -\frac{13}{2}-\sqrt{10} με το -\frac{1}{2}, πολλαπλασιάζοντας το -\frac{13}{2}-\sqrt{10} με τον αντίστροφο του -\frac{1}{2}.

$$x=2\sqrt{10}+13$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=13-2\sqrt{10} x=2\sqrt{10}+13$$

Αντικαταστήστε το x με 13-2\sqrt{10} στην εξίσωση \sqrt{x-2}=\frac{11-x}{2}.

$$\sqrt{13-2\sqrt{10}-2}=\frac{11-\left(13-2\sqrt{10}\right)}{2}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=13-2\sqrt{10} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$10^{\frac{1}{2}}-1=-1+10^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με 2\sqrt{10}+13 στην εξίσωση \sqrt{x-2}=\frac{11-x}{2}.

$$\sqrt{2\sqrt{10}+13-2}=\frac{11-\left(2\sqrt{10}+13\right)}{2}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2\sqrt{10}+13 δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$10^{\frac{1}{2}}+1=-1-10^{\frac{1}{2}}$$

Η εξίσωση \sqrt{x-2}=\frac{11-x}{2} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=13-2\sqrt{10}$$