Επίλυση sqrt{x-1}+3=x

$$\sqrt { x - 1 } + 3 = x$$

Λύση ως προς x

$$x=5$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x-1}=x-3$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(x-3\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-1.

$$x-1=\left(x-3\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-3\right)^{2}.

$$x-1=x^{2}-6x+9$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x-1-x^{2}=-6x+9$$

Προσθήκη 6x και στις δύο πλευρές.

$$x-1-x^{2}+6x=9$$

Συνδυάστε το x και το 6x για να λάβετε 7x.

$$7x-1-x^{2}=9$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$7x-1-x^{2}-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από -1 για να λάβετε -10.

$$7x-10-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 10.

$$1,10 2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+10=11 2+5=7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=5 b=2$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+7x-10 ως \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-5=0 και -x+2=0.

$$x=5 x=2$$

Αντικαταστήστε το x με 5 στην εξίσωση \sqrt{x-1}+3=x.

$$\sqrt{5-1}+3=5$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=5 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$5=5$$

Αντικαταστήστε το x με 2 στην εξίσωση \sqrt{x-1}+3=x.

$$\sqrt{2-1}+3=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$4=2$$

Η εξίσωση \sqrt{x-1}=x-3 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=5$$