Επίλυση sqrt{x^2-2x+10}+2x+1=0

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 2 x + 10 } + 2 x + 1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε 2x+1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x^{2}-2x+10}=-\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$\sqrt{x^{2}-2x+10}=-2x-1$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x^{2}-2x+10}\right)^{2}=\left(-2x-1\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}-2x+10}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}-2x+10.

$$x^{2}-2x+10=\left(-2x-1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+10=4x^{2}+4x+1$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-2x+10-4x^{2}=4x+1$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+10=4x+1$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}-2x+10-4x=1$$

Συνδυάστε το -2x και το -4x για να λάβετε -6x.

$$-3x^{2}-6x+10=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}-6x+10-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από 10 για να λάβετε 9.

$$-3x^{2}-6x+9=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$-x^{2}-2x+3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-2 ab=-3=-3$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=1 b=-3$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}-2x+3 ως \left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+1\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+1=0 και x+3=0.

$$x=1 x=-3$$

Αντικαταστήστε το x με 1 στην εξίσωση \sqrt{x^{2}-2x+10}+2x+1=0.

$$\sqrt{1^{2}-2+10}+2\times 1+1=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=1 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$6=0$$

Αντικαταστήστε το x με -3 στην εξίσωση \sqrt{x^{2}-2x+10}+2x+1=0.

$$\sqrt{\left(-3\right)^{2}-2\left(-3\right)+10}+2\left(-3\right)+1=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-3 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$0=0$$

Η εξίσωση \sqrt{x^{2}-2x+10}=-2x-1 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=-3$$