Επίλυση sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από -1 για να λάβετε -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -2 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Προσθέστε το 4 και το 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Διαιρέστε το 2+2\sqrt{3} με το 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{3} από 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Διαιρέστε το 2-2\sqrt{3} με το 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Αντικαταστήστε το x με \sqrt{3}+1 στην εξίσωση \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\sqrt{3}+1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με 1-\sqrt{3} στην εξίσωση \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=1-\sqrt{3} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Λύση ως προς x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από -1 για να λάβετε -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -2 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Προσθέστε το 4 και το 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Διαιρέστε το 2+2\sqrt{3} με το 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{3} από 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Διαιρέστε το 2-2\sqrt{3} με το 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Αντικαταστήστε το x με \sqrt{3}+1 στην εξίσωση \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\sqrt{3}+1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με 1-\sqrt{3} στην εξίσωση \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Η παράσταση \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} δεν έχει οριστεί, επειδή το radicand δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Η εξίσωση \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\sqrt{3}+1$$