Επίλυση sqrt{x+6}-sqrt{5x+1}+1=0

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 5 x + 1 } + 1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -\sqrt{5x+1}+1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x+6}=-\left(-\sqrt{5x+1}+1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -\sqrt{5x+1}+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$\sqrt{x+6}=-\left(-\sqrt{5x+1}\right)-1$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -\sqrt{5x+1} είναι \sqrt{5x+1}.

$$\sqrt{x+6}=\sqrt{5x+1}-1$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{5x+1}-1\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+6}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+6.

$$x+6=\left(\sqrt{5x+1}-1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{5x+1}-1\right)^{2}.

$$x+6=\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}-2\sqrt{5x+1}+1$$

Υπολογίστε το \sqrt{5x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 5x+1.

$$x+6=5x+1-2\sqrt{5x+1}+1$$

Προσθέστε 1 και 1 για να λάβετε 2.

$$x+6=5x+2-2\sqrt{5x+1}$$

Αφαιρέστε 5x+2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x+6-\left(5x+2\right)=-2\sqrt{5x+1}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 5x+2, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x+6-5x-2=-2\sqrt{5x+1}$$

Συνδυάστε το x και το -5x για να λάβετε -4x.

$$-4x+6-2=-2\sqrt{5x+1}$$

Αφαιρέστε 2 από 6 για να λάβετε 4.

$$-4x+4=-2\sqrt{5x+1}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-4x+4\right)^{2}=\left(-2\sqrt{5x+1}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-4x+4\right)^{2}.

$$16x^{2}-32x+16=\left(-2\sqrt{5x+1}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{5x+1}\right)^{2}.

$$16x^{2}-32x+16=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$16x^{2}-32x+16=4\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{5x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 5x+1.

$$16x^{2}-32x+16=4\left(5x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 5x+1.

$$16x^{2}-32x+16=20x+4$$

Αφαιρέστε 20x και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}-32x+16-20x=4$$

Συνδυάστε το -32x και το -20x για να λάβετε -52x.

$$16x^{2}-52x+16=4$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}-52x+16-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από 16 για να λάβετε 12.

$$16x^{2}-52x+12=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$4x^{2}-13x+3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=4\times 3=12$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-12 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-13x+3 ως \left(4x^{2}-12x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(-x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(4x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και 4x-1=0.

$$x=3 x=\frac{1}{4}$$

Αντικαταστήστε το x με 3 στην εξίσωση \sqrt{x+6}-\sqrt{5x+1}+1=0.

$$\sqrt{3+6}-\sqrt{5\times 3+1}+1=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=3 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$0=0$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{1}{4} στην εξίσωση \sqrt{x+6}-\sqrt{5x+1}+1=0.

$$\sqrt{\frac{1}{4}+6}-\sqrt{5\times \frac{1}{4}+1}+1=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{1}{4} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=0$$

Αντικαταστήστε το x με 3 στην εξίσωση \sqrt{x+6}-\sqrt{5x+1}+1=0.

$$\sqrt{3+6}-\sqrt{5\times 3+1}+1=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=3 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$0=0$$

Η εξίσωση \sqrt{x+6}=\sqrt{5x+1}-1 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=3$$