Επίλυση sqrt{x+5}+sqrt{2x+8}=1

$$\sqrt { x + 5 } + \sqrt { 2 x + 8 } = 1$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε \sqrt{2x+8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x+5}=1-\sqrt{2x+8}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+5}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+5.

$$x+5=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}.

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+8}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+8.

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+2x+8$$

Προσθέστε 1 και 8 για να λάβετε 9.

$$x+5=9-2\sqrt{2x+8}+2x$$

Αφαιρέστε 9+2x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x+5-\left(9+2x\right)=-2\sqrt{2x+8}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 9+2x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x+5-9-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

Αφαιρέστε 9 από 5 για να λάβετε -4.

$$x-4-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

Συνδυάστε το x και το -2x για να λάβετε -x.

$$-x-4=-2\sqrt{2x+8}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-x-4\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-x-4\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$x^{2}+8x+16=4\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+8}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+8.

$$x^{2}+8x+16=4\left(2x+8\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 2x+8.

$$x^{2}+8x+16=8x+32$$

Αφαιρέστε 8x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+8x+16-8x=32$$

Συνδυάστε το 8x και το -8x για να λάβετε 0.

$$x^{2}+16=32$$

Αφαιρέστε 32 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+16-32=0$$

Αφαιρέστε 32 από 16 για να λάβετε -16.

$$x^{2}-16=0$$

Υπολογίστε x^{2}-16. Γράψτε πάλι το x^{2}-16 ως x^{2}-4^{2}. Η διαφορά τετραγώνων μπορεί να παραγοντοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x+4=0.

$$x=4 x=-4$$

Αντικαταστήστε το x με 4 στην εξίσωση \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1.

$$\sqrt{4+5}+\sqrt{2\times 4+8}=1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=4 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$7=1$$

Αντικαταστήστε το x με -4 στην εξίσωση \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1.

$$\sqrt{-4+5}+\sqrt{2\left(-4\right)+8}=1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-4 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Η εξίσωση \sqrt{x+5}=-\sqrt{2x+8}+1 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=-4$$