Επίλυση sqrt{x+2}+1=sqrt{3x+3}

$$\sqrt { x + 2 } + 1 = \sqrt { 3 x + 3 }$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+2}+1\right)^{2}=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{x+2}+1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}+2\sqrt{x+2}+1=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+2}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+2.

$$x+2+2\sqrt{x+2}+1=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

Προσθέστε 2 και 1 για να λάβετε 3.

$$x+3+2\sqrt{x+2}=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{3x+3}στη δύναμη του 2 και λάβετε 3x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+2}=3x+3$$

Αφαιρέστε x+3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2\sqrt{x+2}=3x+3-\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x+3, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2\sqrt{x+2}=3x+3-x-3$$

Συνδυάστε το 3x και το -x για να λάβετε 2x.

$$2\sqrt{x+2}=2x+3-3$$

Αφαιρέστε 3 από 3 για να λάβετε 0.

$$2\sqrt{x+2}=2x$$

Απαλείψτε το 2 και στις δύο πλευρές.

$$\sqrt{x+2}=x$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=x^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+2}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+2.

$$x+2=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x+2-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=2 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+x+2 ως \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και -x-1=0.

$$x=2 x=-1$$

Αντικαταστήστε το x με 2 στην εξίσωση \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3}.

$$\sqrt{2+2}+1=\sqrt{3\times 2+3}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$3=3$$

Αντικαταστήστε το x με -1 στην εξίσωση \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3}.

$$\sqrt{-1+2}+1=\sqrt{3\left(-1\right)+3}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-1 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=0$$

Αντικαταστήστε το x με 2 στην εξίσωση \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3}.

$$\sqrt{2+2}+1=\sqrt{3\times 2+3}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$3=3$$

Η εξίσωση \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=2$$