Επίλυση sqrt{x+2}+sqrt{x-1}=sqrt{2x+5}

$$\sqrt { x + 2 } + \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 2 x + 5 }$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε \sqrt{x-1} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x+2}=\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-1}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+2}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+2.

$$x+2=\left(\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x+2=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+5}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+5.

$$x+2=2x+5-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-1.

$$x+2=2x+5-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}+x-1$$

Συνδυάστε το 2x και το x για να λάβετε 3x.

$$x+2=3x+5-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}-1$$

Αφαιρέστε 1 από 5 για να λάβετε 4.

$$x+2=3x+4-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}$$

Αφαιρέστε 3x+4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x+2-\left(3x+4\right)=-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 3x+4, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x+2-3x-4=-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}$$

Συνδυάστε το x και το -3x για να λάβετε -2x.

$$-2x+2-4=-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}$$

Αφαιρέστε 4 από 2 για να λάβετε -2.

$$-2x-2=-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-2x-2\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-2x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+8x+4=\left(-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}+8x+4=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4x^{2}+8x+4=4\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+5}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+5.

$$4x^{2}+8x+4=4\left(2x+5\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-1.

$$4x^{2}+8x+4=4\left(2x+5\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 2x+5.

$$4x^{2}+8x+4=\left(8x+20\right)\left(x-1\right)$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του 8x+20 με κάθε όρο του x-1.

$$4x^{2}+8x+4=8x^{2}-8x+20x-20$$

Συνδυάστε το -8x και το 20x για να λάβετε 12x.

$$4x^{2}+8x+4=8x^{2}+12x-20$$

Αφαιρέστε 8x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+8x+4-8x^{2}=12x-20$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -8x^{2} για να λάβετε -4x^{2}.

$$-4x^{2}+8x+4=12x-20$$

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$-4x^{2}+8x+4-12x=-20$$

Συνδυάστε το 8x και το -12x για να λάβετε -4x.

$$-4x^{2}-4x+4=-20$$

Προσθήκη 20 και στις δύο πλευρές.

$$-4x^{2}-4x+4+20=0$$

Προσθέστε 4 και 20 για να λάβετε 24.

$$-4x^{2}-4x+24=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$1,-6 2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=2 b=-3$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}-x+6 ως \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+2=0 και x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Αντικαταστήστε το x με -3 στην εξίσωση \sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x+5}. Η παράσταση \sqrt{-3+2} δεν έχει οριστεί, επειδή το radicand δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

$$\sqrt{-3+2}+\sqrt{-3-1}=\sqrt{2\left(-3\right)+5}$$

Αντικαταστήστε το x με 2 στην εξίσωση \sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x+5}.

$$\sqrt{2+2}+\sqrt{2-1}=\sqrt{2\times 2+5}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$3=3$$

Η εξίσωση \sqrt{x+2}=\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-1} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=2$$