Επίλυση sqrt{x+14}-sqrt{2x+5}=1

$$\sqrt { x + 14 } - \sqrt { 2 x + 5 } = 1$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -\sqrt{2x+5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x+14}=1+\sqrt{2x+5}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+14}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+14}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+14.

$$x+14=\left(1+\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1+\sqrt{2x+5}\right)^{2}.

$$x+14=1+2\sqrt{2x+5}+\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+5}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+5.

$$x+14=1+2\sqrt{2x+5}+2x+5$$

Προσθέστε 1 και 5 για να λάβετε 6.

$$x+14=6+2\sqrt{2x+5}+2x$$

Αφαιρέστε 6+2x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x+14-\left(6+2x\right)=2\sqrt{2x+5}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 6+2x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x+14-6-2x=2\sqrt{2x+5}$$

Αφαιρέστε 6 από 14 για να λάβετε 8.

$$x+8-2x=2\sqrt{2x+5}$$

Συνδυάστε το x και το -2x για να λάβετε -x.

$$-x+8=2\sqrt{2x+5}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-x+8\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-x+8\right)^{2}.

$$x^{2}-16x+64=\left(2\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(2\sqrt{2x+5}\right)^{2}.

$$x^{2}-16x+64=2^{2}\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$x^{2}-16x+64=4\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+5}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+5.

$$x^{2}-16x+64=4\left(2x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 2x+5.

$$x^{2}-16x+64=8x+20$$

Αφαιρέστε 8x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-16x+64-8x=20$$

Συνδυάστε το -16x και το -8x για να λάβετε -24x.

$$x^{2}-24x+64=20$$

Αφαιρέστε 20 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-24x+64-20=0$$

Αφαιρέστε 20 από 64 για να λάβετε 44.

$$x^{2}-24x+44=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-24x+44 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-24 ab=44$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -24.

$$a=-22 b=-2$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-22\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-22=0 και x-2=0.

$$x=22 x=2$$

Αντικαταστήστε το x με 22 στην εξίσωση \sqrt{x+14}-\sqrt{2x+5}=1.

$$\sqrt{22+14}-\sqrt{2\times 22+5}=1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=22 δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$-1=1$$

Αντικαταστήστε το x με 2 στην εξίσωση \sqrt{x+14}-\sqrt{2x+5}=1.

$$\sqrt{2+14}-\sqrt{2\times 2+5}=1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Η εξίσωση \sqrt{x+14}=\sqrt{2x+5}+1 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=2$$