Επίλυση sqrt{x+1}-sqrt{9-x}=sqrt{2x-12}

$$\sqrt { x + 1 } - \sqrt { 9 - x } = \sqrt { 2 x - 12 }$$

Λύση ως προς x

$$x=8$$

$$x=7$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}+\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+1.

$$x+1-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}+\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{9-x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 9-x.

$$x+1-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}+9-x=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Προσθέστε 1 και 9 για να λάβετε 10.

$$x+10-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}-x=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Συνδυάστε το x και το -x για να λάβετε 0.

$$10-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x-12}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x-12.

$$10-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=2x-12$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=2x-12-10$$

Αφαιρέστε 10 από -12 για να λάβετε -22.

$$-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=2x-22$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+1.

$$4\left(x+1\right)\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{9-x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 9-x.

$$4\left(x+1\right)\left(9-x\right)=\left(2x-22\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x+1.

$$\left(4x+4\right)\left(9-x\right)=\left(2x-22\right)^{2}$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του 4x+4 με κάθε όρο του 9-x.

$$36x-4x^{2}+36-4x=\left(2x-22\right)^{2}$$

Συνδυάστε το 36x και το -4x για να λάβετε 32x.

$$32x-4x^{2}+36=\left(2x-22\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-22\right)^{2}.

$$32x-4x^{2}+36=4x^{2}-88x+484$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$32x-4x^{2}+36-4x^{2}=-88x+484$$

Συνδυάστε το -4x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -8x^{2}.

$$32x-8x^{2}+36=-88x+484$$

Προσθήκη 88x και στις δύο πλευρές.

$$32x-8x^{2}+36+88x=484$$

Συνδυάστε το 32x και το 88x για να λάβετε 120x.

$$120x-8x^{2}+36=484$$

Αφαιρέστε 484 και από τις δύο πλευρές.

$$120x-8x^{2}+36-484=0$$

Αφαιρέστε 484 από 36 για να λάβετε -448.

$$120x-8x^{2}-448=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-8x^{2}+120x-448=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -8, το b με 120 και το c με -448 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\left(-448\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Υψώστε το 120 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\left(-448\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\left(-448\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 32 επί -448.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-14336}}{2\left(-8\right)}$$

Προσθέστε το 14400 και το -14336.

$$x=\frac{-120±\sqrt{64}}{2\left(-8\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$x=\frac{-120±8}{2\left(-8\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -8.

$$x=\frac{-120±8}{-16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-120±8}{-16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -120 και το 8.

$$x=-\frac{112}{-16}$$

Διαιρέστε το -112 με το -16.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-120±8}{-16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από -120.

$$x=-\frac{128}{-16}$$

Διαιρέστε το -128 με το -16.

$$x=8$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=8$$

Αντικαταστήστε το x με 7 στην εξίσωση \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.

$$\sqrt{7+1}-\sqrt{9-7}=\sqrt{2\times 7-12}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=7 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με 8 στην εξίσωση \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.

$$\sqrt{8+1}-\sqrt{9-8}=\sqrt{2\times 8-12}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=8 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.

$$x=7 x=8$$