Επίλυση sqrt{x+1}=1+sqrt{4-x}

$$\sqrt { x + 1 } = 1 + \sqrt { 4 - x }$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{4-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+1.

$$x+1=\left(1+\sqrt{4-x}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1+\sqrt{4-x}\right)^{2}.

$$x+1=1+2\sqrt{4-x}+\left(\sqrt{4-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{4-x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 4-x.

$$x+1=1+2\sqrt{4-x}+4-x$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$x+1=5+2\sqrt{4-x}-x$$

Αφαιρέστε 5-x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x+1-\left(5-x\right)=2\sqrt{4-x}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 5-x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x+1-5+x=2\sqrt{4-x}$$

Αφαιρέστε 5 από 1 για να λάβετε -4.

$$x-4+x=2\sqrt{4-x}$$

Συνδυάστε το x και το x για να λάβετε 2x.

$$2x-4=2\sqrt{4-x}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(2x-4\right)^{2}=\left(2\sqrt{4-x}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-4\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=\left(2\sqrt{4-x}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(2\sqrt{4-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=2^{2}\left(\sqrt{4-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(\sqrt{4-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{4-x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 4-x.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(4-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 4-x.

$$4x^{2}-16x+16=16-4x$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-16x+16-16=-4x$$

Αφαιρέστε 16 από 16 για να λάβετε 0.

$$4x^{2}-16x=-4x$$

Προσθήκη 4x και στις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-16x+4x=0$$

Συνδυάστε το -16x και το 4x για να λάβετε -12x.

$$4x^{2}-12x=0$$

Παραγοντοποιήστε το x.

$$x\left(4x-12\right)=0$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x=0 και 4x-12=0.

$$x=0 x=3$$

Αντικαταστήστε το x με 0 στην εξίσωση \sqrt{x+1}=1+\sqrt{4-x}.

$$\sqrt{0+1}=1+\sqrt{4-0}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=0 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=3$$

Αντικαταστήστε το x με 3 στην εξίσωση \sqrt{x+1}=1+\sqrt{4-x}.

$$\sqrt{3+1}=1+\sqrt{4-3}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=3 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Η εξίσωση \sqrt{x+1}=\sqrt{4-x}+1 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=3$$