Επίλυση sqrt{q+2}+1=sqrt{3q+7}

$$\sqrt { q + 2 } + 1 = \sqrt { 3 q + 7 }$$

Λύση ως προς q

$$q=-1$$

$$q=-2$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{q+2}+1\right)^{2}=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{q+2}+1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}+2\sqrt{q+2}+1=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{q+2}στη δύναμη του 2 και λάβετε q+2.

$$q+2+2\sqrt{q+2}+1=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Προσθέστε 2 και 1 για να λάβετε 3.

$$q+3+2\sqrt{q+2}=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{3q+7}στη δύναμη του 2 και λάβετε 3q+7.

$$q+3+2\sqrt{q+2}=3q+7$$

Αφαιρέστε q+3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2\sqrt{q+2}=3q+7-\left(q+3\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του q+3, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2\sqrt{q+2}=3q+7-q-3$$

Συνδυάστε το 3q και το -q για να λάβετε 2q.

$$2\sqrt{q+2}=2q+7-3$$

Αφαιρέστε 3 από 7 για να λάβετε 4.

$$2\sqrt{q+2}=2q+4$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(2\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(2\sqrt{q+2}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{q+2}στη δύναμη του 2 και λάβετε q+2.

$$4\left(q+2\right)=\left(2q+4\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το q+2.

$$4q+8=\left(2q+4\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2q+4\right)^{2}.

$$4q+8=4q^{2}+16q+16$$

Αφαιρέστε 4q^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4q+8-4q^{2}=16q+16$$

Αφαιρέστε 16q και από τις δύο πλευρές.

$$4q+8-4q^{2}-16q=16$$

Συνδυάστε το 4q και το -16q για να λάβετε -12q.

$$-12q+8-4q^{2}=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$-12q+8-4q^{2}-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 8 για να λάβετε -8.

$$-12q-8-4q^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$-3q-2-q^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-q^{2}-3q-2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -q^{2}+aq+bq-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-1 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -q^{2}-3q-2 ως \left(-q^{2}-q\right)+\left(-2q-2\right).

$$\left(-q^{2}-q\right)+\left(-2q-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε q στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$q\left(-q-1\right)+2\left(-q-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -q-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-q-1\right)\left(q+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -q-1=0 και q+2=0.

$$q=-1 q=-2$$

Αντικαταστήστε το q με -1 στην εξίσωση \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7}.

$$\sqrt{-1+2}+1=\sqrt{3\left(-1\right)+7}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή q=-1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Αντικαταστήστε το q με -2 στην εξίσωση \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7}.

$$\sqrt{-2+2}+1=\sqrt{3\left(-2\right)+7}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή q=-2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7}.

$$q=-1 q=-2$$