Επίλυση sqrt{m+n}=sqrt{m}+sqrt{n}

$$\sqrt { m + n } = \sqrt { m } + \sqrt { n }$$

Λύση ως προς m

$$\left\{\begin{matrix}m=0\text{, }&n\geq 0\\m\geq 0\text{, }&n=0\end{matrix}\right,$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{m+n}\right)^{2}=\left(\sqrt{m}+\sqrt{n}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{m+n}στη δύναμη του 2 και λάβετε m+n.

$$m+n=\left(\sqrt{m}+\sqrt{n}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{m}+\sqrt{n}\right)^{2}.

$$m+n=\left(\sqrt{m}\right)^{2}+2\sqrt{m}\sqrt{n}+\left(\sqrt{n}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{m}στη δύναμη του 2 και λάβετε m.

$$m+n=m+2\sqrt{m}\sqrt{n}+\left(\sqrt{n}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{n}στη δύναμη του 2 και λάβετε n.

$$m+n=m+2\sqrt{m}\sqrt{n}+n$$

Αφαιρέστε m και από τις δύο πλευρές.

$$m+n-m=2\sqrt{m}\sqrt{n}+n$$

Συνδυάστε το m και το -m για να λάβετε 0.

$$n=2\sqrt{m}\sqrt{n}+n$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$2\sqrt{m}\sqrt{n}+n=n$$

Αφαιρέστε n και από τις δύο πλευρές.

$$2\sqrt{m}\sqrt{n}=n-n$$

Συνδυάστε το n και το -n για να λάβετε 0.

$$2\sqrt{m}\sqrt{n}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2\sqrt{n}.

$$\frac{2\sqrt{n}\sqrt{m}}{2\sqrt{n}}=\frac{0}{2\sqrt{n}}$$

Η διαίρεση με το 2\sqrt{n} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2\sqrt{n}.

$$\sqrt{m}=\frac{0}{2\sqrt{n}}$$

Διαιρέστε το 0 με το 2\sqrt{n}.

$$\sqrt{m}=0$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$m=0$$

Αντικαταστήστε το m με 0 στην εξίσωση \sqrt{m+n}=\sqrt{m}+\sqrt{n}.

$$\sqrt{0+n}=\sqrt{0}+\sqrt{n}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή m=0 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$n^{\frac{1}{2}}=n^{\frac{1}{2}}$$

Η εξίσωση \sqrt{m+n}=\sqrt{m}+\sqrt{n} έχει μια μοναδική λύση.

$$m=0$$

Λύση ως προς n

$$\left\{\begin{matrix}n=0\text{, }&m\geq 0\\n\geq 0\text{, }&m=0\end{matrix}\right,$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{m+n}\right)^{2}=\left(\sqrt{m}+\sqrt{n}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{m+n}στη δύναμη του 2 και λάβετε m+n.

$$m+n=\left(\sqrt{m}+\sqrt{n}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{m}+\sqrt{n}\right)^{2}.

$$m+n=\left(\sqrt{m}\right)^{2}+2\sqrt{m}\sqrt{n}+\left(\sqrt{n}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{m}στη δύναμη του 2 και λάβετε m.

$$m+n=m+2\sqrt{m}\sqrt{n}+\left(\sqrt{n}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{n}στη δύναμη του 2 και λάβετε n.

$$m+n=m+2\sqrt{m}\sqrt{n}+n$$

Αφαιρέστε 2\sqrt{m}\sqrt{n} και από τις δύο πλευρές.

$$m+n-2\sqrt{m}\sqrt{n}=m+n$$

Αφαιρέστε n και από τις δύο πλευρές.

$$m+n-2\sqrt{m}\sqrt{n}-n=m$$

Συνδυάστε το n και το -n για να λάβετε 0.

$$m-2\sqrt{m}\sqrt{n}=m$$

Αφαιρέστε m και από τις δύο πλευρές.

$$-2\sqrt{m}\sqrt{n}=m-m$$

Συνδυάστε το m και το -m για να λάβετε 0.

$$-2\sqrt{m}\sqrt{n}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2\sqrt{m}.

$$\frac{\left(-2\sqrt{m}\right)\sqrt{n}}{-2\sqrt{m}}=\frac{0}{-2\sqrt{m}}$$

Η διαίρεση με το -2\sqrt{m} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2\sqrt{m}.

$$\sqrt{n}=\frac{0}{-2\sqrt{m}}$$

Διαιρέστε το 0 με το -2\sqrt{m}.

$$\sqrt{n}=0$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=0$$

Αντικαταστήστε το n με 0 στην εξίσωση \sqrt{m+n}=\sqrt{m}+\sqrt{n}.

$$\sqrt{m+0}=\sqrt{m}+\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή n=0 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$m^{\frac{1}{2}}=m^{\frac{1}{2}}$$

Η εξίσωση \sqrt{m+n}=\sqrt{m}+\sqrt{n} έχει μια μοναδική λύση.

$$n=0$$