Επίλυση sqrt{a-4}+1=sqrt{2a-7}

$$\sqrt { a - 4 } + 1 = \sqrt { 2 a - 7 }$$

Λύση ως προς a

$$a=8$$

$$a=4$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{a-4}+1\right)^{2}=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{a-4}+1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{a-4}\right)^{2}+2\sqrt{a-4}+1=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{a-4}στη δύναμη του 2 και λάβετε a-4.

$$a-4+2\sqrt{a-4}+1=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Προσθέστε -4 και 1 για να λάβετε -3.

$$a-3+2\sqrt{a-4}=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2a-7}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2a-7.

$$a-3+2\sqrt{a-4}=2a-7$$

Αφαιρέστε a-3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2\sqrt{a-4}=2a-7-\left(a-3\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του a-3, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2\sqrt{a-4}=2a-7-a+3$$

Συνδυάστε το 2a και το -a για να λάβετε a.

$$2\sqrt{a-4}=a-7+3$$

Προσθέστε -7 και 3 για να λάβετε -4.

$$2\sqrt{a-4}=a-4$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(2\sqrt{a-4}\right)^{2}=\left(a-4\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(2\sqrt{a-4}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{a-4}\right)^{2}=\left(a-4\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\left(\sqrt{a-4}\right)^{2}=\left(a-4\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{a-4}στη δύναμη του 2 και λάβετε a-4.

$$4\left(a-4\right)=\left(a-4\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το a-4.

$$4a-16=\left(a-4\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(a-4\right)^{2}.

$$4a-16=a^{2}-8a+16$$

Αφαιρέστε a^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4a-16-a^{2}=-8a+16$$

Προσθήκη 8a και στις δύο πλευρές.

$$4a-16-a^{2}+8a=16$$

Συνδυάστε το 4a και το 8a για να λάβετε 12a.

$$12a-16-a^{2}=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$12a-16-a^{2}-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από -16 για να λάβετε -32.

$$12a-32-a^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-a^{2}+12a-32=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -a^{2}+aa+ba-32. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=-\left(-32\right)=32$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 32.

$$1,32 2,16 4,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+32=33 2+16=18 4+8=12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=8 b=4$$

Γράψτε πάλι το -a^{2}+12a-32 ως \left(-a^{2}+8a\right)+\left(4a-32\right).

$$\left(-a^{2}+8a\right)+\left(4a-32\right)$$

Παραγοντοποιήστε -a στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$-a\left(a-8\right)+4\left(a-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο a-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(a-8\right)\left(-a+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε a-8=0 και -a+4=0.

$$a=8 a=4$$

Αντικαταστήστε το a με 8 στην εξίσωση \sqrt{a-4}+1=\sqrt{2a-7}.

$$\sqrt{8-4}+1=\sqrt{2\times 8-7}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή a=8 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$3=3$$

Αντικαταστήστε το a με 4 στην εξίσωση \sqrt{a-4}+1=\sqrt{2a-7}.

$$\sqrt{4-4}+1=\sqrt{2\times 4-7}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή a=4 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{a-4}+1=\sqrt{2a-7}.

$$a=8 a=4$$