Επίλυση sqrt{9y+1}-sqrt{y+9}=4

$$\sqrt { 9 y + 1 } - \sqrt { y + 9 } = 4$$

Λύση ως προς y

$$y=7$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -\sqrt{y+9} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{9y+1}=4+\sqrt{y+9}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{9y+1}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{y+9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{9y+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 9y+1.

$$9y+1=\left(4+\sqrt{y+9}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4+\sqrt{y+9}\right)^{2}.

$$9y+1=16+8\sqrt{y+9}+\left(\sqrt{y+9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{y+9}στη δύναμη του 2 και λάβετε y+9.

$$9y+1=16+8\sqrt{y+9}+y+9$$

Προσθέστε 16 και 9 για να λάβετε 25.

$$9y+1=25+8\sqrt{y+9}+y$$

Αφαιρέστε 25+y και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9y+1-\left(25+y\right)=8\sqrt{y+9}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 25+y, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$9y+1-25-y=8\sqrt{y+9}$$

Αφαιρέστε 25 από 1 για να λάβετε -24.

$$9y-24-y=8\sqrt{y+9}$$

Συνδυάστε το 9y και το -y για να λάβετε 8y.

$$8y-24=8\sqrt{y+9}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(8y-24\right)^{2}=\left(8\sqrt{y+9}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(8y-24\right)^{2}.

$$64y^{2}-384y+576=\left(8\sqrt{y+9}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(8\sqrt{y+9}\right)^{2}.

$$64y^{2}-384y+576=8^{2}\left(\sqrt{y+9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 8στη δύναμη του 2 και λάβετε 64.

$$64y^{2}-384y+576=64\left(\sqrt{y+9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{y+9}στη δύναμη του 2 και λάβετε y+9.

$$64y^{2}-384y+576=64\left(y+9\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 64 με το y+9.

$$64y^{2}-384y+576=64y+576$$

Αφαιρέστε 64y και από τις δύο πλευρές.

$$64y^{2}-384y+576-64y=576$$

Συνδυάστε το -384y και το -64y για να λάβετε -448y.

$$64y^{2}-448y+576=576$$

Αφαιρέστε 576 και από τις δύο πλευρές.

$$64y^{2}-448y+576-576=0$$

Αφαιρέστε 576 από 576 για να λάβετε 0.

$$64y^{2}-448y=0$$

Παραγοντοποιήστε το y.

$$y\left(64y-448\right)=0$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y=0 και 64y-448=0.

$$y=0 y=7$$

Αντικαταστήστε το y με 0 στην εξίσωση \sqrt{9y+1}-\sqrt{y+9}=4.

$$\sqrt{9\times 0+1}-\sqrt{0+9}=4$$

Απλοποιήστε. Η τιμή y=0 δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$-2=4$$

Αντικαταστήστε το y με 7 στην εξίσωση \sqrt{9y+1}-\sqrt{y+9}=4.

$$\sqrt{9\times 7+1}-\sqrt{7+9}=4$$

Απλοποιήστε. Η τιμή y=7 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$4=4$$

Η εξίσωση \sqrt{9y+1}=\sqrt{y+9}+4 έχει μια μοναδική λύση.

$$y=7$$