Επίλυση sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{7x+67}στη δύναμη του 2 και λάβετε 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+5\right)^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Αφαιρέστε 20x και από τις δύο πλευρές.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Συνδυάστε το 7x και το -20x για να λάβετε -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Αφαιρέστε 25 από 67 για να λάβετε 42.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -4x^{2}+ax+bx+42. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=8 b=-21$$

Γράψτε πάλι το -4x^{2}-13x+42 ως \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο 21 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+2=0 και 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Αντικαταστήστε το x με 2 στην εξίσωση \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$9=9$$

Αντικαταστήστε το x με -\frac{21}{4} στην εξίσωση \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-\frac{21}{4} δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

Η εξίσωση \sqrt{7x+67}=2x+5 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=2$$