Επίλυση sqrt{6x-1}-sqrt{5x+4}=9

$$\sqrt { 6 x - 1 } - \sqrt { 5 x + 4 } = 9$$

Λύση ως προς x

$$x=18\sqrt{2459}+896\approx 1788,589491312$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -\sqrt{5x+4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{6x-1}=9+\sqrt{5x+4}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{6x-1}\right)^{2}=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{6x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 6x-1.

$$6x-1=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{5x+4}στη δύναμη του 2 και λάβετε 5x+4.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+5x+4$$

Προσθέστε 81 και 4 για να λάβετε 85.

$$6x-1=85+18\sqrt{5x+4}+5x$$

Αφαιρέστε 85+5x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x-1-\left(85+5x\right)=18\sqrt{5x+4}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 85+5x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$6x-1-85-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Αφαιρέστε 85 από -1 για να λάβετε -86.

$$6x-86-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Συνδυάστε το 6x και το -5x για να λάβετε x.

$$x-86=18\sqrt{5x+4}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(x-86\right)^{2}=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-86\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=18^{2}\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 18στη δύναμη του 2 και λάβετε 324.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{5x+4}στη δύναμη του 2 και λάβετε 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(5x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 324 με το 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=1620x+1296$$

Αφαιρέστε 1620x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-172x+7396-1620x=1296$$

Συνδυάστε το -172x και το -1620x για να λάβετε -1792x.

$$x^{2}-1792x+7396=1296$$

Αφαιρέστε 1296 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-1792x+7396-1296=0$$

Αφαιρέστε 1296 από 7396 για να λάβετε 6100.

$$x^{2}-1792x+6100=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -1792 και το c με 6100 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{\left(-1792\right)^{2}-4\times 6100}}{2}$$

Υψώστε το -1792 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-4\times 6100}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6100.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-24400}}{2}$$

Προσθέστε το 3211264 και το -24400.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3186864}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 3186864.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±36\sqrt{2459}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1792 είναι 1792.

$$x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1792 και το 36\sqrt{2459}.

$$x=\frac{36\sqrt{2459}+1792}{2}$$

Διαιρέστε το 1792+36\sqrt{2459} με το 2.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 36\sqrt{2459} από 1792.

$$x=\frac{1792-36\sqrt{2459}}{2}$$

Διαιρέστε το 1792-36\sqrt{2459} με το 2.

$$x=896-18\sqrt{2459}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=18\sqrt{2459}+896 x=896-18\sqrt{2459}$$

Αντικαταστήστε το x με 18\sqrt{2459}+896 στην εξίσωση \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=18\sqrt{2459}+896 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$9=9$$

Αντικαταστήστε το x με 896-18\sqrt{2459} στην εξίσωση \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(896-18\sqrt{2459}\right)-1}-\sqrt{5\left(896-18\sqrt{2459}\right)+4}=9$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=896-18\sqrt{2459} δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$99-2\times 2459^{\frac{1}{2}}=9$$

Αντικαταστήστε το x με 18\sqrt{2459}+896 στην εξίσωση \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=18\sqrt{2459}+896 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$9=9$$

Η εξίσωση \sqrt{6x-1}=\sqrt{5x+4}+9 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$