Επίλυση sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{5x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{3x-2}στη δύναμη του 2 και λάβετε 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Συνδυάστε το 5x και το 3x για να λάβετε 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Αφαιρέστε 2 από -1 για να λάβετε -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Αφαιρέστε 8x-3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 8x-3, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Συνδυάστε το x και το -8x για να λάβετε -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Προσθέστε -1 και 3 για να λάβετε 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{5x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{3x-2}στη δύναμη του 2 και λάβετε 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του 20x-4 με κάθε όρο του 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Συνδυάστε το -40x και το -12x για να λάβετε -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Αφαιρέστε 49x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Συνδυάστε το 60x^{2} και το -49x^{2} για να λάβετε 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Προσθήκη 28x και στις δύο πλευρές.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Συνδυάστε το -52x και το 28x για να λάβετε -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από 8 για να λάβετε 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 11x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -24.

$$a=-22 b=-2$$

Γράψτε πάλι το 11x^{2}-24x+4 ως \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 11x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{2}{11} στην εξίσωση \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Η παράσταση \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} δεν έχει οριστεί, επειδή το radicand δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Αντικαταστήστε το x με 2 στην εξίσωση \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Η εξίσωση \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=2$$