Επίλυση sqrt{4+3x}+sqrt{x+2}=2

$$\sqrt { 4 + 3 x } + \sqrt { x + 2 } = 2$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε \sqrt{x+2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{4+3x}=2-\sqrt{x+2}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{4+3x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 4+3x.

$$4+3x=\left(2-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2-\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$4+3x=4-4\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+2}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+2.

$$4+3x=4-4\sqrt{x+2}+x+2$$

Προσθέστε 4 και 2 για να λάβετε 6.

$$4+3x=6-4\sqrt{x+2}+x$$

Αφαιρέστε 6+x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4+3x-\left(6+x\right)=-4\sqrt{x+2}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 6+x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4+3x-6-x=-4\sqrt{x+2}$$

Αφαιρέστε 6 από 4 για να λάβετε -2.

$$-2+3x-x=-4\sqrt{x+2}$$

Συνδυάστε το 3x και το -x για να λάβετε 2x.

$$-2+2x=-4\sqrt{x+2}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-2+2x\right)^{2}=\left(-4\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-2+2x\right)^{2}.

$$4-8x+4x^{2}=\left(-4\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-4\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$4-8x+4x^{2}=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$4-8x+4x^{2}=16\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+2}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+2.

$$4-8x+4x^{2}=16\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 16 με το x+2.

$$4-8x+4x^{2}=16x+32$$

Αφαιρέστε 16x και από τις δύο πλευρές.

$$4-8x+4x^{2}-16x=32$$

Συνδυάστε το -8x και το -16x για να λάβετε -24x.

$$4-24x+4x^{2}=32$$

Αφαιρέστε 32 και από τις δύο πλευρές.

$$4-24x+4x^{2}-32=0$$

Αφαιρέστε 32 από 4 για να λάβετε -28.

$$-28-24x+4x^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$-7-6x+x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}-6x-7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-6 ab=1\left(-7\right)=-7$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-7 b=1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-6x-7 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(x-7\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση x^{2}-7x.

$$x\left(x-7\right)+x-7$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x+1=0.

$$x=7 x=-1$$

Αντικαταστήστε το x με 7 στην εξίσωση \sqrt{4+3x}+\sqrt{x+2}=2.

$$\sqrt{4+3\times 7}+\sqrt{7+2}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=7 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$8=2$$

Αντικαταστήστε το x με -1 στην εξίσωση \sqrt{4+3x}+\sqrt{x+2}=2.

$$\sqrt{4+3\left(-1\right)}+\sqrt{-1+2}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Η εξίσωση \sqrt{3x+4}=-\sqrt{x+2}+2 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=-1$$