Επίλυση sqrt{2x-1}-2=sqrt{x-4}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - 2 = \sqrt { x - 4 }$$

Λύση ως προς x

$$x=13$$

$$x=5$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x-1.

$$2x-1-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Προσθέστε -1 και 4 για να λάβετε 3.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-4}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-4.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=x-4$$

Αφαιρέστε 2x+3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-\left(2x+3\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x+3, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-2x-3$$

Συνδυάστε το x και το -2x για να λάβετε -x.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-4-3$$

Αφαιρέστε 3 από -4 για να λάβετε -7.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-7$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$16\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x-1.

$$16\left(2x-1\right)=\left(-x-7\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 16 με το 2x-1.

$$32x-16=\left(-x-7\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-x-7\right)^{2}.

$$32x-16=x^{2}+14x+49$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$32x-16-x^{2}=14x+49$$

Αφαιρέστε 14x και από τις δύο πλευρές.

$$32x-16-x^{2}-14x=49$$

Συνδυάστε το 32x και το -14x για να λάβετε 18x.

$$18x-16-x^{2}=49$$

Αφαιρέστε 49 και από τις δύο πλευρές.

$$18x-16-x^{2}-49=0$$

Αφαιρέστε 49 από -16 για να λάβετε -65.

$$18x-65-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+18x-65=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-65. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=18 ab=-\left(-65\right)=65$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 65.

$$1,65 5,13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+65=66 5+13=18$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 18.

$$a=13 b=5$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+18x-65 ως \left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-13\right)+5\left(x-13\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-13 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-13\right)\left(-x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-13=0 και -x+5=0.

$$x=13 x=5$$

Αντικαταστήστε το x με 13 στην εξίσωση \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 13-1}-2=\sqrt{13-4}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=13 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$3=3$$

Αντικαταστήστε το x με 5 στην εξίσωση \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-2=\sqrt{5-4}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=5 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$x=13 x=5$$