Επίλυση sqrt{2x+7}-3x+1=x-1

$$\sqrt { 2 x + 7 } - 3 x + 1 = x - 1$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{129} + 9}{16} \approx 1,272363543$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -3x+1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x+1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -3x+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x\right)-1$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3x είναι 3x.

$$\sqrt{2x+7}=x-1+3x-1$$

Συνδυάστε το x και το 3x για να λάβετε 4x.

$$\sqrt{2x+7}=4x-1-1$$

Αφαιρέστε 1 από -1 για να λάβετε -2.

$$\sqrt{2x+7}=4x-2$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(4x-2\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+7}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+7.

$$2x+7=\left(4x-2\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4x-2\right)^{2}.

$$2x+7=16x^{2}-16x+4$$

Αφαιρέστε 16x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x+7-16x^{2}=-16x+4$$

Προσθήκη 16x και στις δύο πλευρές.

$$2x+7-16x^{2}+16x=4$$

Συνδυάστε το 2x και το 16x για να λάβετε 18x.

$$18x+7-16x^{2}=4$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$18x+7-16x^{2}-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από 7 για να λάβετε 3.

$$18x+3-16x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-16x^{2}+18x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -16, το b με 18 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Υψώστε το 18 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -16.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+64\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 64 επί 3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+192}}{2\left(-16\right)}$$

Προσθέστε το 324 και το 192.

$$x=\frac{-18±\sqrt{516}}{2\left(-16\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 516.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -16.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -18 και το 2\sqrt{129}.

$$x=\frac{2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Διαιρέστε το -18+2\sqrt{129} με το -32.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{129} από -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Διαιρέστε το -18-2\sqrt{129} με το -32.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{9-\sqrt{129}}{16} στην εξίσωση \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+7}-3\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+1=\frac{9-\sqrt{129}}{16}-1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$-\frac{15}{16}+\frac{7}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{16}-\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{\sqrt{129}+9}{16} στην εξίσωση \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+7}-3\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+1=\frac{\sqrt{129}+9}{16}-1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{\sqrt{129}+9}{16} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-\frac{7}{16}+\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{16}$$

Η εξίσωση \sqrt{2x+7}=4x-2 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$