Επίλυση sqrt{2x+5}=x-5

$$\sqrt { 2 x + 5 } = x - 5$$

Λύση ως προς x

$$x=10$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}=\left(x-5\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+5}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+5.

$$2x+5=\left(x-5\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-5\right)^{2}.

$$2x+5=x^{2}-10x+25$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x+5-x^{2}=-10x+25$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$2x+5-x^{2}+10x=25$$

Συνδυάστε το 2x και το 10x για να λάβετε 12x.

$$12x+5-x^{2}=25$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές.

$$12x+5-x^{2}-25=0$$

Αφαιρέστε 25 από 5 για να λάβετε -20.

$$12x-20-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+12x-20=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=-\left(-20\right)=20$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=10 b=2$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+12x-20 ως \left(-x^{2}+10x\right)+\left(2x-20\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(2x-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-10\right)+2\left(x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-10\right)\left(-x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-10=0 και -x+2=0.

$$x=10 x=2$$

Αντικαταστήστε το x με 10 στην εξίσωση \sqrt{2x+5}=x-5.

$$\sqrt{2\times 10+5}=10-5$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=10 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$5=5$$

Αντικαταστήστε το x με 2 στην εξίσωση \sqrt{2x+5}=x-5.

$$\sqrt{2\times 2+5}=2-5$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2 δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$3=-3$$

Η εξίσωση \sqrt{2x+5}=x-5 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=10$$