Επίλυση sqrt{2x+13}-3x=9

$$\sqrt { 2 x + 13 } - 3 x = 9$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -3x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{2x+13}=9+3x$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{2x+13}\right)^{2}=\left(9+3x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+13}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+13.

$$2x+13=\left(9+3x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(9+3x\right)^{2}.

$$2x+13=81+54x+9x^{2}$$

Αφαιρέστε 81 και από τις δύο πλευρές.

$$2x+13-81=54x+9x^{2}$$

Αφαιρέστε 81 από 13 για να λάβετε -68.

$$2x-68=54x+9x^{2}$$

Αφαιρέστε 54x και από τις δύο πλευρές.

$$2x-68-54x=9x^{2}$$

Συνδυάστε το 2x και το -54x για να λάβετε -52x.

$$-52x-68=9x^{2}$$

Αφαιρέστε 9x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-52x-68-9x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-9x^{2}-52x-68=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -9x^{2}+ax+bx-68. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-52 ab=-9\left(-68\right)=612$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 612.

$$-1,-612 -2,-306 -3,-204 -4,-153 -6,-102 -9,-68 -12,-51 -17,-36 -18,-34$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-612=-613 -2-306=-308 -3-204=-207 -4-153=-157 -6-102=-108 -9-68=-77 -12-51=-63 -17-36=-53 -18-34=-52$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -52.

$$a=-18 b=-34$$

Γράψτε πάλι το -9x^{2}-52x-68 ως \left(-9x^{2}-18x\right)+\left(-34x-68\right).

$$\left(-9x^{2}-18x\right)+\left(-34x-68\right)$$

Παραγοντοποιήστε 9x στο πρώτο και στο 34 της δεύτερης ομάδας.

$$9x\left(-x-2\right)+34\left(-x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x-2\right)\left(9x+34\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x-2=0 και 9x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{9}$$

Αντικαταστήστε το x με -2 στην εξίσωση \sqrt{2x+13}-3x=9.

$$\sqrt{2\left(-2\right)+13}-3\left(-2\right)=9$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$9=9$$

Αντικαταστήστε το x με -\frac{34}{9} στην εξίσωση \sqrt{2x+13}-3x=9.

$$\sqrt{2\left(-\frac{34}{9}\right)+13}-3\left(-\frac{34}{9}\right)=9$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-\frac{34}{9} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\frac{41}{3}=9$$

Η εξίσωση \sqrt{2x+13}=3x+9 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=-2$$