Επίλυση sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Λύση ως προς x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -\sqrt{19-x^{2}} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{15+x^{2}}στη δύναμη του 2 και λάβετε 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{19-x^{2}}στη δύναμη του 2 και λάβετε 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Προσθέστε 4 και 19 για να λάβετε 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Αφαιρέστε 23-x^{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 23-x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Αφαιρέστε 23 από 15 για να λάβετε -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Για να υψώσετε μια δύναμη σε μια άλλη δύναμη, πολλαπλασιάστε τους εκθέτες. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό 2 με τον αριθμό 2 για να λάβετε τον αριθμό 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{19-x^{2}}στη δύναμη του 2 και λάβετε 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 16 με το 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Αφαιρέστε 304 και από τις δύο πλευρές.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Αφαιρέστε 304 από 64 για να λάβετε -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Προσθήκη 16x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Συνδυάστε το -32x^{2} και το 16x^{2} για να λάβετε -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Αντικαταστήστε το t με το x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 4 για a, -16 για b και -240 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Επιλύστε την εξίσωση t=\frac{16±64}{8} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$t=10 t=-6$$

Αφού x=t^{2}, οι λύσεις ελέγχονται από την αξιολόγηση x=±\sqrt{t} για θετικές t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Αντικαταστήστε το x με \sqrt{10} στην εξίσωση \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\sqrt{10} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Αντικαταστήστε το x με -\sqrt{10} στην εξίσωση \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-\sqrt{10} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$