Επίλυση sqrt{10-3x}=2+sqrt{x+6}

$$\sqrt { 10 - 3 x } = 2 + \sqrt { x + 6 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{10-3x}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{10-3x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 10-3x.

$$10-3x=\left(2+\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$10-3x=4+4\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+6}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+6.

$$10-3x=4+4\sqrt{x+6}+x+6$$

Προσθέστε 4 και 6 για να λάβετε 10.

$$10-3x=10+4\sqrt{x+6}+x$$

Αφαιρέστε 10+x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$10-3x-\left(10+x\right)=4\sqrt{x+6}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 10+x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$10-3x-10-x=4\sqrt{x+6}$$

Αφαιρέστε 10 από 10 για να λάβετε 0.

$$-3x-x=4\sqrt{x+6}$$

Συνδυάστε το -3x και το -x για να λάβετε -4x.

$$-4x=4\sqrt{x+6}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-4x\right)^{2}=\left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-4x\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}x^{2}=\left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$16x^{2}=\left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$16x^{2}=4^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$16x^{2}=16\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+6}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+6.

$$16x^{2}=16\left(x+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 16 με το x+6.

$$16x^{2}=16x+96$$

Αφαιρέστε 16x και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}-16x=96$$

Αφαιρέστε 96 και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}-16x-96=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 16.

$$x^{2}-x-6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$1,-6 2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-3 b=2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-x-6 ως \left(x^{2}-3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(2x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και x+2=0.

$$x=3 x=-2$$

Αντικαταστήστε το x με 3 στην εξίσωση \sqrt{10-3x}=2+\sqrt{x+6}.

$$\sqrt{10-3\times 3}=2+\sqrt{3+6}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=3 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=5$$

Αντικαταστήστε το x με -2 στην εξίσωση \sqrt{10-3x}=2+\sqrt{x+6}.

$$\sqrt{10-3\left(-2\right)}=2+\sqrt{-2+6}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$4=4$$

Η εξίσωση \sqrt{10-3x}=\sqrt{x+6}+2 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=-2$$