Επίλυση sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Προσθέστε 4 και 4 για να λάβετε 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Προσθέστε 4 και 16 για να λάβετε 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Συνδυάστε το -4x και το -4x για να λάβετε -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Αφαιρέστε 8 από 20 για να λάβετε 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Αφαιρέστε y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Συνδυάστε το y^{2} και το -y^{2} για να λάβετε 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Προσθήκη 4y και στις δύο πλευρές.

$$-8x=12-8y+4y$$

Συνδυάστε το -8y και το 4y για να λάβετε -4y.

$$-8x=12-4y$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Η διαίρεση με το -8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Διαιρέστε το 12-4y με το -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{y-3}{2} στην εξίσωση \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{y-3}{2} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Η εξίσωση \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Λύση ως προς y

$$y=2x+3$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Προσθέστε 4 και 4 για να λάβετε 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Προσθέστε 4 και 16 για να λάβετε 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Αφαιρέστε y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Συνδυάστε το y^{2} και το -y^{2} για να λάβετε 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Προσθήκη 8y και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Συνδυάστε το -4y και το 8y για να λάβετε 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Προσθήκη 4x και στις δύο πλευρές.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Συνδυάστε το 4x και το 4x για να λάβετε 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$4y=8x+20-8$$

Αφαιρέστε 8 από 20 για να λάβετε 12.

$$4y=8x+12$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Διαιρέστε το 8x+12 με το 4.

$$y=2x+3$$

Αντικαταστήστε το y με 2x+3 στην εξίσωση \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή y=2x+3 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Η εξίσωση \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} έχει μια μοναδική λύση.

$$y=2x+3$$