Επίλυση sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Λύση ως προς x

$$x=y+2$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Προσθέστε 49 και 1 για να λάβετε 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}στη δύναμη του 2 και λάβετε 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Προσθέστε 9 και 25 για να λάβετε 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}στη δύναμη του 2 και λάβετε 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Προσθήκη 6x και στις δύο πλευρές.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Συνδυάστε το -14x και το 6x για να λάβετε -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Αφαιρέστε 50 και από τις δύο πλευρές.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Αφαιρέστε 50 από 34 για να λάβετε -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Προσθήκη 2y και στις δύο πλευρές.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Συνδυάστε το -10y και το 2y για να λάβετε -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Αφαιρέστε y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Συνδυάστε το y^{2} και το -y^{2} για να λάβετε 0.

$$-8x=-16-8y$$

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή.

$$-8x=-8y-16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

Η διαίρεση με το -8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Διαιρέστε το -16-8y με το -8.

$$x=y+2$$

Αντικαταστήστε το x με y+2 στην εξίσωση \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=y+2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

Η εξίσωση \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=y+2$$

Λύση ως προς y

$$y=x-2$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Προσθέστε 49 και 1 για να λάβετε 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}στη δύναμη του 2 και λάβετε 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Προσθέστε 9 και 25 για να λάβετε 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}στη δύναμη του 2 και λάβετε 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Προσθήκη 10y και στις δύο πλευρές.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Συνδυάστε το -2y και το 10y για να λάβετε 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Αφαιρέστε y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Συνδυάστε το y^{2} και το -y^{2} για να λάβετε 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 50 και από τις δύο πλευρές.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Αφαιρέστε 50 από 34 για να λάβετε -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Προσθήκη 14x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Συνδυάστε το -6x και το 14x για να λάβετε 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 0.

$$8y=-16+8x$$

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή.

$$8y=8x-16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Διαιρέστε το -16+8x με το 8.

$$y=x-2$$

Αντικαταστήστε το y με x-2 στην εξίσωση \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή y=x-2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

Η εξίσωση \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} έχει μια μοναδική λύση.

$$y=x-2$$