Επίλυση sinh(1)=

$$\sin h ( 1 ) =$$

Διαφόριση ως προς h

$$\cos(h)$$

Βήματα χρήσης του ορισμού της παραγώγου

Για μια συνάρτηση f\left(x\right), η παράγωγος είναι το όριο της \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} όταν η h τείνει στο 0, εάν υπάρχει αυτό το όριο.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

Χρησιμοποιήστε τον τύπο αθροίσματος ημιτόνων.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

Παραγοντοποιήστε το \sin(h).

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

Γράψτε ξανά το όριο.

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι το h είναι μια σταθερά κατά τον υπολογισμό των ορίων όταν το t τείνει στο 0.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Το όριο \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} είναι 1.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

Για να υπολογίσετε το όριο \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}, πρώτα πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Πολλαπλασιάστε το \cos(t)+1 επί \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα του Πυθαγόρα.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Γράψτε ξανά το όριο.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Το όριο \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} είναι 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι η \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} είναι συνεχής στο 0.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Αντικαταστήστε την τιμή 0 στην παράσταση \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h).

$$\cos(h)$$

Υπολογισμός

$$\sin(h)$$