Επίλυση quadtext{17}x-3/x+3+x+3/x-3=21/2

$$\quad \text { 17 } \frac { x - 3 } { x + 3 } + \frac { x + 3 } { x - 3 } = 2 \frac { 1 } { 2 }$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}\approx 3,096774194-1,520925837i$$

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}\approx 3,096774194+1,520925837i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+3,x-3,2.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 17 με το 2x-6.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 34x-102 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+6 με το x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Συνδυάστε το 34x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 36x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Συνδυάστε το -204x και το 12x για να λάβετε -192x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Προσθέστε 306 και 18 για να λάβετε 324.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2 και 2 για να λάβετε 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Προσθέστε 4 και 1 για να λάβετε 5.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-9 με το 5.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Συνδυάστε το 36x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε 31x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Προσθήκη 45 και στις δύο πλευρές.

$$31x^{2}-192x+324+45=0$$

Προσθέστε 324 και 45 για να λάβετε 369.

$$31x^{2}-192x+369=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 31, το b με -192 και το c με 369 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{\left(-192\right)^{2}-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Υψώστε το -192 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 31.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-124\times 369}}{2\times 31}$$

Πολλαπλασιάστε το -124 επί 369.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-45756}}{2\times 31}$$

Προσθέστε το 36864 και το -45756.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{-8892}}{2\times 31}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -8892.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -192 είναι 192.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 31.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 192 και το 6i\sqrt{247}.

$$x=\frac{192+6\sqrt{247}i}{62}$$

Διαιρέστε το 192+6i\sqrt{247} με το 62.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6i\sqrt{247} από 192.

$$x=\frac{-6\sqrt{247}i+192}{62}$$

Διαιρέστε το 192-6i\sqrt{247} με το 62.

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+3,x-3,2.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 17 με το 2x-6.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 34x-102 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+6 με το x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Συνδυάστε το 34x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 36x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Συνδυάστε το -204x και το 12x για να λάβετε -192x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Προσθέστε 306 και 18 για να λάβετε 324.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2 και 2 για να λάβετε 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Προσθέστε 4 και 1 για να λάβετε 5.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-9 με το 5.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Συνδυάστε το 36x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε 31x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Αφαιρέστε 324 και από τις δύο πλευρές.

$$31x^{2}-192x=-45-324$$

Αφαιρέστε 324 από -45 για να λάβετε -369.

$$31x^{2}-192x=-369$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 31.

$$\frac{31x^{2}-192x}{31}=-\frac{369}{31}$$

Η διαίρεση με το 31 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 31.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x=-\frac{369}{31}$$

Διαιρέστε το -\frac{192}{31}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{96}{31}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{96}{31} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{369}{31}+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{96}{31} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{369}{31}+\frac{9216}{961}$$

Προσθέστε το -\frac{369}{31} και το \frac{9216}{961} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{2223}{961}$$

Παραγον x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{2223}{961}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2223}{961}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{96}{31}=\frac{3\sqrt{247}i}{31} x-\frac{96}{31}=-\frac{3\sqrt{247}i}{31}$$

Προσθέστε \frac{96}{31} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$