Επίλυση {l}{800=x+20y}{700=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Λύση ως προς x, y

$$x=400$$

$$y=20$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$x+20y=800$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$x+15y=700$$

Για λύσετε ένα ζεύγος εξισώσεων χρησιμοποιώντας αντικατάσταση, πρώτα λύστε μία από τις εξισώσεις ως προς μία από τις μεταβλητές. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε το αποτέλεσμα για αυτή τη μεταβλητή στην άλλη εξίσωση.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις και λύστε την ως προς x, απομονώνοντας το x στην αριστερή πλευρά του ίσον.

$$x+20y=800$$

Αφαιρέστε 20y και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-20y+800$$

Αντικαταστήστε το x με -20y+800 στην άλλη εξίσωση, x+15y=700.

$$-20y+800+15y=700$$

Προσθέστε το -20y και το 15y.

$$-5y+800=700$$

Αφαιρέστε 800 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-5y=-100$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -5.

$$y=20$$

Αντικαταστήστε το y με 20 στην x=-20y+800. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$x=-20\times 20+800$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 20.

$$x=-400+800$$

Προσθέστε το 800 και το -400.

$$x=400$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=400,y=20$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$x+20y=800$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$x+15y=700$$

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Για τον πίνακα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πινάκων μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πινάκων.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα x και y.

$$x=400,y=20$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$x+20y=800$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$x+15y=700$$

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Αφαιρέστε x+15y=700 από x+20y=800 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Προσθέστε το x και το -x. Απαλοιφή των όρων x και -x, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$20y-15y=800-700$$

Προσθέστε το 20y και το -15y.

$$5y=800-700$$

Προσθέστε το 800 και το -700.

$$5y=100$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$y=20$$

Αντικαταστήστε το y με 20 στην x+15y=700. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$x+15\times 20=700$$

Πολλαπλασιάστε το 15 επί 20.

$$x+300=700$$

Αφαιρέστε 300 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=400$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=400,y=20$$