Επίλυση {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Λύση ως προς x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Για λύσετε ένα ζεύγος εξισώσεων χρησιμοποιώντας αντικατάσταση, πρώτα λύστε μία από τις εξισώσεις ως προς μία από τις μεταβλητές. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε το αποτέλεσμα για αυτή τη μεταβλητή στην άλλη εξίσωση.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις και λύστε την ως προς x, απομονώνοντας το x στην αριστερή πλευρά του ίσον.

$$2x+5y=259$$

Αφαιρέστε 5y και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x=-5y+259$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{2} επί -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{-5y+259}{2} στην άλλη εξίσωση, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Πολλαπλασιάστε το 199 επί \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Προσθέστε το -\frac{995y}{2} και το -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Αφαιρέστε \frac{51541}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με -\frac{999}{2}, το οποίο είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάζατε και τις δύο πλευρές με το αντίστροφο κλάσμα.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Αντικαταστήστε το y με \frac{16429}{333} στην x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -\frac{5}{2} επί \frac{16429}{333} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Προσθέστε το \frac{259}{2} και το -\frac{82145}{666} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Για τον πίνακα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πινάκων μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πινάκων.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα x και y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Για να κάνετε τα 2x και 199x ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με 199 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Απλοποιήστε.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Αφαιρέστε 398x-4y=2254 από 398x+995y=51541 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Προσθέστε το 398x και το -398x. Απαλοιφή των όρων 398x και -398x, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$995y+4y=51541-2254$$

Προσθέστε το 995y και το 4y.

$$999y=51541-2254$$

Προσθέστε το 51541 και το -2254.

$$999y=49287$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Αντικαταστήστε το y με \frac{16429}{333} στην 199x-2y=1127. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Πολλαπλασιάστε το -2 επί \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Προσθέστε \frac{32858}{333} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$