Επίλυση {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Λύση ως προς y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με \frac{4}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2\left(3x-4\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$2y+2-3x=-4$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$2y-3x=-4-2$$

Αφαιρέστε 2 από -4 για να λάβετε -6.

$$2y-3x=-6$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -\frac{11}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$5x+y-3x=11$$

Συνδυάστε το 5x και το -3x για να λάβετε 2x.

$$2x+y=11$$

Για λύσετε ένα ζεύγος εξισώσεων χρησιμοποιώντας αντικατάσταση, πρώτα λύστε μία από τις εξισώσεις ως προς μία από τις μεταβλητές. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε το αποτέλεσμα για αυτή τη μεταβλητή στην άλλη εξίσωση.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις και λύστε την ως προς y, απομονώνοντας το y στην αριστερή πλευρά του ίσον.

$$2y-3x=-6$$

Προσθέστε 3x και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2y=3x-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{2} επί -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Αντικαταστήστε το y με \frac{3x}{2}-3 στην άλλη εξίσωση, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Προσθέστε το \frac{3x}{2} και το 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \frac{7}{2}, το οποίο είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάζατε και τις δύο πλευρές με το αντίστροφο κλάσμα.

$$x=4$$

Αντικαταστήστε το x με 4 στην y=\frac{3}{2}x-3. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς y απευθείας.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3}{2} επί 4.

$$y=6-3$$

Προσθέστε το -3 και το 6.

$$y=3$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$y=3,x=4$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με \frac{4}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2\left(3x-4\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$2y+2-3x=-4$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$2y-3x=-4-2$$

Αφαιρέστε 2 από -4 για να λάβετε -6.

$$2y-3x=-6$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -\frac{11}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$5x+y-3x=11$$

Συνδυάστε το 5x και το -3x για να λάβετε 2x.

$$2x+y=11$$

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Για τον πίνακα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πινάκων μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πινάκων.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα y και x.

$$y=3,x=4$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με \frac{4}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2\left(3x-4\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$2y+2-3x=-4$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$2y-3x=-4-2$$

Αφαιρέστε 2 από -4 για να λάβετε -6.

$$2y-3x=-6$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -\frac{11}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$5x+y-3x=11$$

Συνδυάστε το 5x και το -3x για να λάβετε 2x.

$$2x+y=11$$

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Για να κάνετε τα 2y και y ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με 1 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Απλοποιήστε.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Αφαιρέστε 2y+4x=22 από 2y-3x=-6 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Προσθέστε το 2y και το -2y. Απαλοιφή των όρων 2y και -2y, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$-3x-4x=-6-22$$

Προσθέστε το -3x και το -4x.

$$-7x=-6-22$$

Προσθέστε το -6 και το -22.

$$-7x=-28$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -7.

$$x=4$$

Αντικαταστήστε το x με 4 στην y+2x=11. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς y απευθείας.

$$y+2\times 4=11$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$y+8=11$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=3$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$y=3,x=4$$