Επίλυση {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Λύση ως προς k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή L δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με L.

$$k=100L$$

Αντικαταστήστε το k με 100L στην άλλη εξίσωση, 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 100L.

$$500L+50L=110$$

Προσθέστε το 500L και το 50L.

$$550L=110$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Αντικαταστήστε το L με \frac{1}{5} στην k=100L. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς k απευθείας.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Πολλαπλασιάστε το 100 επί \frac{1}{5}.

$$k=20$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή L δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με L.

$$k=100L$$

Αφαιρέστε 100L και από τις δύο πλευρές.

$$k-100L=0$$

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Για τον πίνακα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πινάκων μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πινάκων.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα k και L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή L δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με L.

$$k=100L$$

Αφαιρέστε 100L και από τις δύο πλευρές.

$$k-100L=0$$

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Για να κάνετε τα k και 5k ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με 5 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Απλοποιήστε.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Αφαιρέστε 5k+50L=110 από 5k-500L=0 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Προσθέστε το 5k και το -5k. Απαλοιφή των όρων 5k και -5k, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$-500L-50L=-110$$

Προσθέστε το -500L και το -50L.

$$-550L=-110$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Αντικαταστήστε το L με \frac{1}{5} στην 5k+50L=110. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς k απευθείας.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Πολλαπλασιάστε το 50 επί \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5k=100$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$k=20$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$