Επίλυση {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Λύση ως προς x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Για λύσετε ένα ζεύγος εξισώσεων χρησιμοποιώντας αντικατάσταση, πρώτα λύστε μία από τις εξισώσεις ως προς μία από τις μεταβλητές. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε το αποτέλεσμα για αυτή τη μεταβλητή στην άλλη εξίσωση.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις και λύστε την ως προς x, απομονώνοντας το x στην αριστερή πλευρά του ίσον.

$$2x+4y=2060$$

Αφαιρέστε 4y και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x=-4y+2060$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{2} επί -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Αντικαταστήστε το x με -2y+1030 στην άλλη εξίσωση, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Προσθέστε το -10y και το 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Αφαιρέστε 5150 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-3y=-3510$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$y=1170$$

Αντικαταστήστε το y με 1170 στην x=-2y+1030. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Πολλαπλασιάστε το -2 επί 1170.

$$x=-2340+1030$$

Προσθέστε το 1030 και το -2340.

$$x=-1310$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1310,y=1170$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Για τον πίνακα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πινάκων μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πινάκων.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα x και y.

$$x=-1310,y=1170$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Για να κάνετε τα 2x και 5x ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με 5 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Απλοποιήστε.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Αφαιρέστε 10x+14y=3280 από 10x+20y=10300 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Προσθέστε το 10x και το -10x. Απαλοιφή των όρων 10x και -10x, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$20y-14y=10300-3280$$

Προσθέστε το 20y και το -14y.

$$6y=10300-3280$$

Προσθέστε το 10300 και το -3280.

$$6y=7020$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$y=1170$$

Αντικαταστήστε το y με 1170 στην 5x+7y=1640. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Πολλαπλασιάστε το 7 επί 1170.

$$5x+8190=1640$$

Αφαιρέστε 8190 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x=-6550$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$x=-1310$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1310,y=1170$$