Επίλυση ∫ (from 0 to 2) of left(xleft(x-2right)^2right)^2 wrt x

$$\int_{ 0 }^{ 2 } { \left(x { \left(x-2 \right) }^{ 2 } \right) }^{ 2 } d x$$

Υπολογισμός

$$\frac{128}{105}\approx 1,219047619$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-2\right)^{2}.

$$\int _{0}^{2}\left(x\left(x^{2}-4x+4\right)\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x^{2}-4x+4.

$$\int _{0}^{2}\left(x^{3}-4x^{2}+4x\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Υψώστε το x^{3}-4x^{2}+4x στο τετράγωνο.

$$\int _{0}^{2}x^{6}-8x^{5}+24x^{4}-32x^{3}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int x^{6}-8x^{5}+24x^{4}-32x^{3}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+\int -8x^{5}\mathrm{d}x+\int 24x^{4}\mathrm{d}x+\int -32x^{3}\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x-8\int x^{5}\mathrm{d}x+24\int x^{4}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{6}\mathrm{d}x με \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{x^{7}}{7}-8\int x^{5}\mathrm{d}x+24\int x^{4}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{5}\mathrm{d}x με \frac{x^{6}}{6}. Πολλαπλασιάστε το -8 επί \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{4x^{6}}{3}+24\int x^{4}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{4}\mathrm{d}x με \frac{x^{5}}{5}. Πολλαπλασιάστε το 24 επί \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{4x^{6}}{3}+\frac{24x^{5}}{5}-32\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{3}\mathrm{d}x με \frac{x^{4}}{4}. Πολλαπλασιάστε το -32 επί \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{4x^{6}}{3}+\frac{24x^{5}}{5}-8x^{4}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το 16 επί \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{4x^{6}}{3}+\frac{24x^{5}}{5}-8x^{4}+\frac{16x^{3}}{3}$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{16x^{3}}{3}-8x^{4}+\frac{24x^{5}}{5}-\frac{4x^{6}}{3}+\frac{x^{7}}{7}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\frac{16}{3}\times 2^{3}-8\times 2^{4}+\frac{24}{5}\times 2^{5}-\frac{4}{3}\times 2^{6}+\frac{2^{7}}{7}-\left(\frac{16}{3}\times 0^{3}-8\times 0^{4}+\frac{24}{5}\times 0^{5}-\frac{4}{3}\times 0^{6}+\frac{0^{7}}{7}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{128}{105}$$