Επίλυση ∫ (from -2 to 4) of y+2x-x^2 wrt x

$$\int_{ -2 }^{ 4 } y+2x- { x }^{ 2 } d x$$

Υπολογισμός

$$6\left(y-2\right)$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int y+2x-x^{2}\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int y\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int y\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των y χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}x=ax.

$$yx+2\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το 2 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$yx+x^{2}-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί \frac{x^{3}}{3}.

$$yx+x^{2}-\frac{x^{3}}{3}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$y\times 4+4^{2}-\frac{4^{3}}{3}-\left(y\left(-2\right)+\left(-2\right)^{2}-\frac{\left(-2\right)^{3}}{3}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$-12+6y$$

Διαφόριση ως προς y

$$6$$