Επίλυση ∫ x(2+x^2)^2 wrt x

$$\int x ( 2 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Υπολογισμός

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2+x^{2}\right)^{2}.

$$\int x\left(4+4x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Για να υψώσετε μια δύναμη σε μια άλλη δύναμη, πολλαπλασιάστε τους εκθέτες. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό 2 με τον αριθμό 2 για να λάβετε τον αριθμό 4.

$$\int x\left(4+4x^{2}+x^{4}\right)\mathrm{d}x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 4+4x^{2}+x^{4}.

$$\int 4x+4x^{3}+x^{5}\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Επειδή \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το 4 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Επειδή \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{3}\mathrm{d}x με \frac{x^{4}}{4}. Πολλαπλασιάστε το 4 επί \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{2}+x^{4}+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Επειδή \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{5}\mathrm{d}x με \frac{x^{6}}{6}.

$$2x^{2}+x^{4}+\frac{x^{6}}{6}$$

Εάν το F\left(x\right) είναι αντιπαράγωγο του f\left(x\right), τότε το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων του f\left(x\right) δίνεται από F\left(x\right)+C. Επομένως, προσθέστε τη σταθερά της ενοποίησης C\in \mathrm{R} στο αποτέλεσμα.

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Διαφόριση ως προς x

$$x\left(x^{2}+2\right)^{2}$$