Επίλυση ∫ (from 3 to 4) of 3(4t)^2dt?

$$\int _ { 3 } ^ { 4 } 3 ( 4 t ) ^ { 2 } d t ?$$

Υπολογισμός

$$592$$

Βήματα λύσης

Αναπτύξτε το \left(4t\right)^{2}.

$$\int _{3}^{4}3\times 4^{2}t^{2}\mathrm{d}t$$

Υπολογίστε το 4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$\int _{3}^{4}3\times 16t^{2}\mathrm{d}t$$

Πολλαπλασιάστε 3 και 16 για να λάβετε 48.

$$\int _{3}^{4}48t^{2}\mathrm{d}t$$

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int 48t^{2}\mathrm{d}t$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά με \int af\left(t\right)\mathrm{d}t=a\int f\left(t\right)\mathrm{d}t.

$$48\int t^{2}\mathrm{d}t$$

Καθώς \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int t^{2}\mathrm{d}t με \frac{t^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το 48 επί \frac{t^{3}}{3}.

$$16t^{3}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$16\times 4^{3}-16\times 3^{3}$$

Απλοποιήστε.

$$592$$