Επίλυση ∫ (from 2 to 4) of (x+8)^2 wrt x=

$$\int _ { 2 } ^ { 4 } ( x + 8 ) ^ { 2 } d x =$$

Υπολογισμός

$$\frac{728}{3}\approx 242,666666667$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+8\right)^{2}.

$$\int _{2}^{4}x^{2}+16x+64\mathrm{d}x$$

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int x^{2}+16x+64\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 16x\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+16\int x\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το 16 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+8x^{2}+\int 64\mathrm{d}x$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των 64 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}+8x^{2}+64x$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\frac{4^{3}}{3}+8\times 4^{2}+64\times 4-\left(\frac{2^{3}}{3}+8\times 2^{2}+64\times 2\right)$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{728}{3}$$