Επίλυση ∫ (from 2 to 3) of {(3y-y^2)-(3-y) wrt y

$$\int _ { 2 } ^ { 3 } \{ ( 3 y - y ^ { 2 } ) - ( 3 - y ) \} d y$$

Υπολογισμός

$$\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Βήματα λύσης

Για να βρείτε τον αντίθετο του 3-y, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$\int _{2}^{3}3y-y^{2}-3+y\mathrm{d}y$$

Συνδυάστε το 3y και το y για να λάβετε 4y.

$$\int _{2}^{3}4y-y^{2}-3\mathrm{d}y$$

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int 4y-y^{2}-3\mathrm{d}y$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int 4y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y+\int -3\mathrm{d}y$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$4\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y+\int -3\mathrm{d}y$$

Καθώς \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int y\mathrm{d}y με \frac{y^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το 4 επί \frac{y^{2}}{2}.

$$2y^{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y+\int -3\mathrm{d}y$$

Καθώς \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int y^{2}\mathrm{d}y με \frac{y^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί \frac{y^{3}}{3}.

$$2y^{2}-\frac{y^{3}}{3}+\int -3\mathrm{d}y$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των -3 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}y=ay.

$$2y^{2}-\frac{y^{3}}{3}-3y$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$2\times 3^{2}-\frac{3^{3}}{3}-3\times 3-\left(2\times 2^{2}-\frac{2^{3}}{3}-3\times 2\right)$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{2}{3}$$