Επίλυση ∫ (from 1 to 2) of (x+sqrt[3]{x}+1/x^2) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x + \sqrt[ 3 ] { x } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) d x$$

Υπολογισμός

$$\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}+\frac{5}{4}\approx 3,139881575$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int x+\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

Γράψτε πάλι το \sqrt[3]{x} ως x^{\frac{1}{3}}. Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{\frac{1}{3}}\mathrm{d}x με \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}. Απλοποιήστε.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x με -\frac{1}{x}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}-\frac{1}{x}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\frac{2^{2}}{2}+\frac{3}{4}\times 2^{\frac{4}{3}}-2^{-1}-\left(\frac{1^{2}}{2}+\frac{3}{4}\times 1^{\frac{4}{3}}-1^{-1}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{5}{4}+\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$$