Επίλυση ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

Υπολογισμός

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0,671572875$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Γράψτε πάλι το \frac{1}{\sqrt{x}} ως x^{-\frac{1}{2}}. Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x με \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Απλοποίηση και μετατροπή από εκθετική σε ριζική μορφή.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$