Επίλυση ∫ (from 0 to a) of -3x^2+3 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { a } - 3 x ^ { 2 } + 3 d x$$

Υπολογισμός

$$a\left(3-a^{2}\right)$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int -3x^{2}+3\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int -3x^{2}\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$-3\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το -3 επί \frac{x^{3}}{3}.

$$-x^{3}+\int 3\mathrm{d}x$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των 3 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-x^{3}+3x$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$-a^{3}+3a-\left(-0^{3}+3\times 0\right)$$

Απλοποιήστε.

$$a\left(-a^{2}+3\right)$$

Διαφόριση ως προς a

$$3-3a^{2}$$