Επίλυση ∫ (from 0 to a) of ((0)-(x^2-9x)] wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { a } ( ( 0 ) - ( x ^ { 2 } - 9 x ) ] d x$$

Υπολογισμός

$$-\frac{a^{3}}{3}+\frac{9a^{2}}{2}$$

Βήματα λύσης

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-9x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$\int _{0}^{a}0-x^{2}+9x\mathrm{d}x$$

Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$\int _{0}^{a}-x^{2}+9x\mathrm{d}x$$

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int -x^{2}+9x\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 9x\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+9\int x\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+9\int x\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το 9 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{9x^{2}}{2}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$-\frac{a^{3}}{3}+\frac{9}{2}a^{2}-\left(-\frac{0^{3}}{3}+\frac{9}{2}\times 0^{2}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{9a^{2}}{2}-\frac{a^{3}}{3}$$

Διαφόριση ως προς a

$$a\left(9-a\right)$$