Επίλυση ∫ (from 0 to 50) of (x^2+3x+x^3) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 50 } ( x ^ { 2 } + 3 x + x ^ { 3 } ) d x$$

Υπολογισμός

$$\frac{4823750}{3}\approx 1607916,666666667$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int x^{2}+3x+x^{3}\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 3x\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+3\int x\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το 3 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{3}\mathrm{d}x με \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\frac{50^{3}}{3}+\frac{3}{2}\times 50^{2}+\frac{50^{4}}{4}-\left(\frac{0^{3}}{3}+\frac{3}{2}\times 0^{2}+\frac{0^{4}}{4}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{4823750}{3}$$