Επίλυση ∫ (from 0 to 4) of 3x^2-x+1 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } 3 x ^ { 2 } - x + 1 d x$$

Υπολογισμός

$$60$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int 3x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int 3x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$3\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το 3 επί \frac{x^{3}}{3}.

$$x^{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των 1 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$4^{3}-\frac{4^{2}}{2}+4-\left(0^{3}-\frac{0^{2}}{2}+0\right)$$

Απλοποιήστε.

$$60$$